Question

7．某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭人均純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如表：

年份	2007	2008	2009	2010	2011	2012	2013
年份代號t	1	2	3	4	5	6	7
人均純收入y	2.9	3.3	3.6	4.4	4.8	5.2	5.9

（1）由以上數(shù)據(jù)經(jīng)計算得：$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$=$\frac{1}{2}$，求y關(guān)于t的線性回歸方程；
（2）利用（1）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)據(jù)，求得年份代號t及人均純收入y的平均數(shù)，根據(jù)最小二乘法認真做出線性回歸方程的系數(shù)，即可求得線性回歸方程．
（2）根據(jù)線性回歸方程中b=$\frac{1}{2}$＞0，得出結(jié)論是平均人均純收入每年增長約500元，將2015年的年份t的值代入線性回歸方程，求出y的值，即可預(yù)測該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．

解答 解：（1）∵$\overline{t}$=$\frac{1+2+…+7}{7}$=4，$\overline{y}$=$\frac{2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9}{7}$=4.3，
設(shè)回歸方程為y=bt+a，由線性回歸方程過樣本中心點（$\overline{t}$，$\overline{y}$）代入公式，經(jīng)計算得
a=$\overline{y}$-b$\overline{t}$=4.3-$\frac{1}{2}$×4=2.3
所以，y關(guān)于t的回歸方程為y=0.5t+2.3．
（2）∵b=$\frac{1}{2}$＞0，
∴2007年至2013年該區(qū)人均純收入穩(wěn)步增長，平均人均純收入每年增長約500元，
預(yù)計到2015年，該區(qū)人均純收入y=0.5×9+2.3=6.8（千元）
所以，預(yù)計到2015年，該區(qū)人均純收入約6千8百元左右．

點評 本題考查線性回歸分析的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是利用最小二乘法認真做出線性回歸方程的系數(shù)，這是整個題目做對的必備條件，屬于基礎(chǔ)題．