Question

17．如圖，AB是⊙O的直徑，AC，DE分別是⊙O的切線，切點分別為A，E，BC交⊙O于E．
（Ⅰ）證明：D為AC的中點；
（Ⅱ）若⊙O的半徑為$\sqrt{3}$，CE=1，求DE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AE，證明∠CDE=∠CED，得到CD=DA，即可證明：D為AC的中點；
（Ⅱ）由射影定理可得，AE²=CE•BE，求出AE，利用Rt三角形CEA，求DE的長．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)AE，由已知得，AE⊥BC，AC⊥AB，
由DE，CA為圓O的切線，得∠DEA=∠B，∠DAE=∠B，
∴∠DEA=∠DAE，∴DE=DA
∵∠CAE+∠C=90°，∠CED+∠DEA=90°，
∴∠CDE=∠CED，
∴CD=DA，
∴D為AC的中點．…（5分）
（Ⅱ）解：在Rt三角形CAB中，由CE=1，AB=$2\sqrt{3}$，
設(shè) AE=x，則$BE=\sqrt{12-{x^2}}$，
由射影定理可得，AE²=CE•BE，
∴${x^2}=\sqrt{12-{x^2}}$，解得x=$\sqrt{3}$，
在Rt三角形CEA中，∵CA=2，又（Ⅰ）D為AC的中點，∴DE=1   …（10分）

點評 本題考查圓的切線的性質(zhì)，考查射影定理，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．