Question

已知圓O：x2+y2=

4

9

，直線l：y=kx+m與橢圓C：

x2

2

+y2=1相交于P、Q兩點，O為原點．
（Ⅰ）若直線l過橢圓C的左焦點，且與圓O交于A、B兩點，且∠AOB=60°，求直線l的方程；
（Ⅱ）如圖，若△POQ重心恰好在圓上，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用圓心O到直線l的距離d=

|k|

k2+1

=

1

3

即可求得k，從而可得直線l的方程；
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，利用韋達定理可求得x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，又△POQ重心恰好在圓x²+y²=

4

9

上，可求得(x1+x2)2+(y1+y2)2=4，化簡可求得m²=

(1+2k2)2

4k2+1

，△＞0⇒1+2k²＞m²，二者聯(lián)立即可求得m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）左焦點坐標為F（-1，0），設直線l的方程為y=k（x+1），由∠AOB=60°得，圓心O到直線l的距離d=

1

3

，
又d=

|k|

k2+1

，
∴

|k|

k2+1

=

1

3

，解得k=±

2

2

．
∴直線l的方程為y=±

2

2

（x+1）．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

得：（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
由△＞0得：1+2k²＞m²…（⊕），且x₁+x₂=-

4km

1+2k2

．
∵△POQ重心恰好在圓x²+y²=

4

9

上，
∴(x1+x2)2+(y1+y2)2=4，
即(x1+x2)2+[k(x1+x2)+2m]2=4，即（1+k²）(x1+x2)2+4km（x₁+x₂）+4m²=4．
∴

16(1+k2)k2m2

(1+2k2)2

-

16k2m2

1+2k2

+4m²=4，化簡得：m²=

(1+2k2)2

4k2+1

，代入（⊕）式得：k≠0，
又m²=

(1+2k2)2

4k2+1

=1+

4k4

4k2+1

=1+

4

4 k2 + 1 k4

．
∵k≠0，
∴m²＞1，
∴m＞1或m＜-1．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查點到直線間的距離公式，突出考查韋達定理的應用，考查轉化思想與邏輯思維與運算能力，屬于難題．