Question

【題目】給定數(shù)列，對(duì)，該數(shù)列前項(xiàng)的最大值記為，后項(xiàng)的最小值記為，.

（1）設(shè)數(shù)列為3，4，7，5，2，寫(xiě)出，，，的值；

（2）設(shè)是，公比的等比數(shù)列，證明：成等比數(shù)列；

（3）設(shè)，證明：的充分必要條件為是公差為的等差數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）可根據(jù)題意來(lái)逐步代入計(jì)算；（2）根據(jù)a1＞0，公比q＞1，可判斷出數(shù)列{an}是一個(gè)單調(diào)遞增的等比數(shù)列，則可逐步代入Ai與Bi的值進(jìn)行計(jì)算，再證明出d1，d2，d3，…dn﹣1成等比數(shù)列．（3）先證充分性：因?yàn)閙>0可得單增，則，可得；再證必要性，先利用反證法說(shuō)明數(shù)列中不存在使，則可說(shuō)明，，則得，從而證得結(jié)論.

（1）由題意，可知：

①當(dāng)i＝1時(shí)，A1＝3，B1＝2，d1＝A1﹣B1＝3﹣2＝1；

②當(dāng)i＝2時(shí)，A2＝4，B2＝2，d2＝A2﹣B2＝4﹣2＝2；

③當(dāng)i＝3時(shí)，A3＝7，B3＝2，d3＝A3﹣B3＝7﹣2＝5；

④當(dāng)i＝4時(shí)，A4＝7，B4＝2，d4＝A4﹣B4＝7﹣2＝5．

（2）由題意，可知：

∵a1＞0，公比q＞1，

∴數(shù)列{an}是一個(gè)單調(diào)遞增的等比數(shù)列．

∴①當(dāng)i＝1時(shí)，A1＝a1，B1＝a2，d1＝A1﹣B1＝a1﹣a2＝a1（1﹣q）；

②當(dāng)i＝2時(shí)，A2＝a2，B2＝a3，d2＝A2﹣B2＝a2﹣a3＝a1（1﹣q）q；

③當(dāng)i＝3時(shí)，A3＝a3，B3＝a4，d3＝A3﹣B3＝a3﹣a4＝a1（1﹣q）q2；

…

∴對(duì)，

.

因此且 ，

∴為首項(xiàng)為a1（1﹣q），公比為q的等比數(shù)列．

（3）充分性：若是公差為的等差數(shù)列，則，

因?yàn)?/span>，，，

，.

必要性：若，．

假設(shè)是第一個(gè)使的項(xiàng)，

則，這與相矛盾，故∴ ，即，故是公差為的等差數(shù)列．