【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,,離心率為,過右焦點作直線交橢圓兩點,的周長為,點.

1)求橢圓的方程;

2)設直線、的斜率,,請問是否為定值?若是定值,求出其定值;若不是,說明理由.

【答案】(1)(2)是定值,且為

【解析】

1)由的周長為,得到,即.再由離心率求得,從而可得,得橢圓方程

2)直線l斜率不存在時,,直線軸不垂直時,設直線的方程為,,由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元,可得,計算,并代入可得.這樣就得出結論.

1)由的周長為,得到,即.

又因為,所以,

,

所以橢圓的方程為.

2)當直線軸不垂直時,

設直線的方程為,,

把直線的方程代入,得,

,,

因為,

.

當直線軸垂直時,,即,

所以,即是定值.

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