Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1+x2

x

（1）判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）計(jì)算f(

1

3

)+f(

1

2

)+f(1)-f(2)-f(3)的值；
（3）探究函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的判斷,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的定義域，然后直接利用f（-x）=-f（x）判斷；
（2）求得f(

1

x

)-f(x)=0，由此可得f(

1

3

)+f(

1

2

)+f(1)-f(2)-f(3)的值；
（3）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義加以判斷證明．

解答： 解：（1）f（x）的定義域（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f(-x)=

1+(-x)2

-x

=

1+x2

-x

=-f(x)，
∴f（x）為奇函數(shù)；
（2）∵f(

1

x

)-f(x)=

1+( 1 x )2

1 x

-

1+x2

x

=

1+x2

x

-

1+x2

x

=0，
∴f(

1

3

)+f(

1

2

)+f(1)-f(2)-f(3)=f（1）=2；
（3）函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)遞增．
證明：f（x）=

1+x2

x

=

1

x

+x．
任取x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

1

x1

+x1-

1

x2

-x2=(x1-x2)-

x1-x2

x1x2

=(x1-x2)(1-

1

x1x2

)．
∵x₁，x₂∈[1，+∞），且x₁＜x₂，
∴x1-x2＜0，1-

1

x1x2

＞0．
則f（x₁）-f（x₂）＜0．
即f（x₁）＜f（x₂）．
∴函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上的單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的判斷方法，關(guān)鍵是熟記步驟并靈活運(yùn)用，是中檔題．