Question

16．如圖，矩形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，將△DEF沿FD翻折，翻折后的點(diǎn)E（記為點(diǎn)P）恰好落在BC上，設(shè)AB=1，F(xiàn)A=x（x＞1），AD=y，則以下結(jié)論正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)x=2時(shí)，y有最小值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． 當(dāng)x=2時(shí)，有最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• C． 當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，y有最小值2
• D． 當(dāng)x=$\sqrt{2}$時(shí)，y有最大值2

Answer 1

分析 由已知得FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，F(xiàn)A=DE=DP=x，從而PC=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，AP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$，BP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$，進(jìn)而得到y(tǒng)²=$\frac{{x}^{4}}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{4}}}$，由此利用換元法及二次函數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：∵矩形ABCD與矩形ADEF所在的平面互相垂直，
AB=1，F(xiàn)A=x（x＞1），AD=y，
∴FE=FP=AD=BC=y，AB=DC=1，F(xiàn)A=DE=DP=x
在Rt△DCP中，PC=$\sqrt{{x}^{2}-1}$，
在Rt△FAP中，AP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}}$，
在Rt△ABP中，BP=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$，
∵BC=BP+PC=$\sqrt{{y}^{2}-{x}^{2}-1}$+$\sqrt{{x}^{2}-1}$=y
整理得y²=$\frac{{x}^{4}}{{x}^{2}-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{{x}^{2}}-\frac{1}{{x}^{4}}}$，令t=$\frac{1}{{x}^{2}}$
則y²=$\frac{1}{-{t}^{2}+t}$，
則當(dāng)t=$\frac{1}{2}$，即x=$\sqrt{2}$時(shí)，y取最小值．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間位置關(guān)系、換元法、二次函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．