Question

5．如圖，AB為圓O的直徑，點(diǎn)C為圓O上的一點(diǎn)，且BC=$\sqrt{3}$AC，點(diǎn)D為線段AB上一點(diǎn)，且AD=$\frac{1}{3}$DB．PD垂直于圓O所在的平面．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAB；
（Ⅱ）若PD=BD，求二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)CO，推導(dǎo)出BC⊥AC，CD⊥AO，PD⊥CD，由此能證明CD⊥平面PAB．
（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角C-PB-A的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）連結(jié)CO，由AD=$\frac{1}{3}DB$，得點(diǎn)D為AO的中點(diǎn)，
∵C是圓O上的一點(diǎn)，AB為圓O的直徑，
∴BC⊥AC，
由BC=$\sqrt{3}AC$，知∠CAB=60°，
∴△ACO為正三角形，
∴CD⊥AO，
又PD⊥圓O所在的平面，CD在圓O所在平面內(nèi)，
∴PD⊥CD，
∵PD∩AO，
∴CD⊥平面PAB．
解：（Ⅱ）以D為原點(diǎn)，DC為x軸，DB為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AC=2，則D（0，0，0），C（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，3，0），P（0，0，3），
∴$\overrightarrow{PC}$=（$\sqrt{3}，0，-3$），$\overrightarrow{PB}$=（0，3，-3），
設(shè)向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）為平面PBC的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PC}=\sqrt{3}x-3z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=3y-3z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，1，1）為平面PBC的一個(gè)法向量，
又$\overrightarrow{DC}$=（$\sqrt{3}$，0，0）為平面PAB的一個(gè)法向量，
∵cos＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{3}{\sqrt{5}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
∴二面角C-PB-A的余弦值為$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．