Question

某物流公司擬建造如圖所示的有底容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的下端為圓柱形，上端頂蓋為半球形，按照設計要求容器的體積為

112π

3

立方米，且h≥4r．假設該容器的建造費用僅與表面積有關．已知圓柱形部分與底部每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為

15

2

千元．設該容器的建造費用為y千元．
（1）寫出y關于r的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；
（2）求該容器的建造費用最小時的r．（注：球體積V=

4

3

πr³；球表面積S=4πr²）

Answer 1

考點：函數(shù)模型的選擇與應用,函數(shù)解析式的求解及常用方法,組合幾何體的面積、體積問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）由圓柱和球的體積的表達式，得到h和r的關系．再由圓柱和球的表面積公式建立關系式，將表達式中的l用r表示．并注意到寫定義域時，利用h≥4r，求出自變量r的范圍．
（2）用導數(shù)的知識解決，注意到定義域的限制，在區(qū)間（0，2]中，極值未必存在，將極值點在區(qū)間內(nèi)和在區(qū)間外進行分類討論．

解答： 解：（1）由體積V=

1

2

×

4

3

πr³+πr²h=

112π

3

，解得h=

112-2r3

3r2

，
∴y=2πrh×3+2πr²×

15

2

=6πr×

112-2r3

3r2

+15πr²
=π•

112+13r3

r

，
又h≥4r，即

112-2r3

3r2

≥4r，解得0＜r≤2．
∴其定義域為（0，2]．
（2）由（1）得，y=π•

112+13r3

r

=

112

r

+13r2=

56

r

+

56

r

+13r2≥3

3	56 r × 56 r ×13r2

=4

3	637

，
當且僅當r=

2 91

13

∈（0，2]s時取等號．
建造費用最小時r=

2 91

13

．

點評：利用導數(shù)的知識研究函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)最值問題是高考經(jīng)常考查的知識點，同時分類討論的思想也蘊含在其中．