Question

函數(shù)f（x）=x²-

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x

（x≠0）
（1）求x=3處的切線方程；
（2）求f（x） 的單調(diào)區(qū)間及極值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），f′(x)=2x +

54

x2

=

2x3+54

x2

，由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出x=3處的切線方程．
（2）令f′（x）=0，得x=-3，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出f（x） 的單調(diào)區(qū)間及極值．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²-

54

x

（x≠0），
∴f（x）的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
f′(x)=2x +

54

x2

=

2x3+54

x2

，
∴f（3）=9-

54

3

=9-18=-9，即切點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-9），
切線的斜率k=f′（3）=12，∴切線方程為y+9=12（x-3），
整理，得：12x-y+45=0．
（2）令f′（x）=0，得x=-3，
令f′（x）＞0，得-3＜x＜0或x＞0；令f′（x）＜0，得-∞＜x＜-3．
∴f（x）的增區(qū)間為（-3，0），（0，+∞），減區(qū)間為（-∞，-3），
∴f（x）_極小值=f（-3）=27，無極大值．

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題．重點(diǎn)考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力．解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．