Question

8．設(shè)函數(shù)$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x+a-1（a∈R，a是常數(shù)）$
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）$若f（x）在[{-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}}]上的最大值與最小值之和為\sqrt{3}，求實(shí)數(shù)a的值$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性求出函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的最值，結(jié)合最大值與最小值之和為$\sqrt{3}$，可得a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x+a-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+a=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a，
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，f（x）的最大值為2+a，
當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{3}$時，f（x）取得最小值為-$\sqrt{3}$+a．
根據(jù)最大值與最小值之和為$\sqrt{3}$，可得2+a+（-$\sqrt{3}$+a）=$\sqrt{3}$，∴a=$\sqrt{3}$-1．

點(diǎn)評 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．