Question

6．已知△ABC是邊長為2的正三角形，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且$\overrightarrow{PA}$+2$\overrightarrow{PB}$+3$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$．則$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$等于（　�。�

• A． -$\frac{2}{9}$
• B． -$\frac{1}{9}$
• C． $\frac{2}{9}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件即可得到$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=-2（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$，可畫出圖形，取AC邊中點(diǎn)D，BC邊中點(diǎn)E，所以可得到$\overrightarrow{PD}=-2\overrightarrow{PE}$，所以DE為△ABC的中位線，而$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}$，$\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{EB}$，所以$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EB}$$+\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{EB}$，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可．

解答 解：如圖，取AC中點(diǎn)D，BC中點(diǎn)E；
∵$\overrightarrow{PA}+2\overrightarrow{PB}+3\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=-2（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）$；
∴$2\overrightarrow{PD}=-4\overrightarrow{PE}$；
∴$\overrightarrow{PD}=-2\overrightarrow{PE}$；
∴P，D，E三點(diǎn)共線，DE為△ABC的中位線；
∴$|\overrightarrow{PD}|=\frac{2}{3}，|\overrightarrow{PE}|=\frac{1}{3}$；
∴$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}$=$（\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}）•（\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{EB}）$=$\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{PD}•\overrightarrow{EB}$$+\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{PE}+\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{EB}$=$-\frac{2}{9}+\frac{2}{3}•1•（-\frac{1}{2}）+1•\frac{1}{3}•（-\frac{1}{2}）+1•1•\frac{1}{2}=-\frac{2}{9}$．
故選：A．

點(diǎn)評 考查向量加法的平行四邊形法則，共線向量基本定理，向量加法的幾何意義，以及數(shù)量積的計算公式．