Question

11．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-2|
①當(dāng)a=-3時(shí)，求不等式f（x）≥3的解集；
②f（x）≤|x-4|若的解集包含[1，2]，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 ①不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{3-x+2-x≥3\\;}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2＜x＜3}\\{3-x+x-2≥3}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-3+x-2≥3}\end{array}\right.$，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集即得所求．
②原命題等價(jià)于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=-3時(shí)，f（x）≥3 即|x-3|+|x-2|≥3，即
$\left\{\begin{array}{l}{x≤2}\\{3-x+2-x≥3\\;}\end{array}\right.$，可得x≤1；
$\left\{\begin{array}{l}{2＜x＜3}\\{3-x+x-2≥3}\end{array}\right.$，可得x∈∅；
$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{x-3+x-2≥3}\end{array}\right.$，可得x≥4．
取并集可得不等式的解集為 {x|x≤1或x≥4}．
（2）原命題即f（x）≤|x-4|在[1，2]上恒成立，等價(jià)于|x+a|+2-x≤4-x在[1，2]上恒成立，
等價(jià)于|x+a|≤2，等價(jià)于-2≤x+a≤2，-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立．
故當(dāng) 1≤x≤2時(shí)，-2-x的最大值為-2-1=-3，2-x的最小值為0，
故a的取值范圍為[-3，0]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為與之等價(jià)的不等式組來(lái)解，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．