Question

18．函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0≤φ≤$\frac{π}{2}$）在x∈（0，7π）內只取到一個最大值和一個最小值，且當x=π時，y_max=3；當x=6π，y_min=-3．
（1）求出此函數(shù)的解析式；
（2）求該函數(shù)的單調遞增區(qū)間；
（3）是否存在實數(shù)m，滿足不等式Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$+φ）＞Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+4}$+φ）？若存在，求出m的范圍（或值），若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)當x=π時，y_max=3；當x=6π，y_min=-3．周期T=10π，A=3，點（π，3）在此函數(shù)圖象上，帶入求φ
的值，即可得到解析式．
（2）將內層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調遞增區(qū)間．
（3）根據(jù)被開方數(shù)≥0求出m的范圍，在求出$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$和$\sqrt{-{m}^{2}+4}$的范圍，利用三角函數(shù)的單調性即可求m的范圍．

解答 解（1）由題意，在x∈（0，7π）內只取到一個最大值和一個最小值得．
當x=π時，y_max=3；當x=6π，y_min=-3
∴A=3，$\frac{1}{2}$T=5π
解得：T=10π，
∴ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{1}{5}$．
∴y=3sin（$\frac{1}{5}$x+φ），
由于點（π，3）在此函數(shù)圖象上，則有3sin（$\frac{π}{5}$+φ）=3，
∵0≤φ≤$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{5}$=$\frac{3π}{10}$．
∴函數(shù)的解析式y(tǒng)=3sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$）．
（2）由（1）可得：解析式y(tǒng)=3sin（$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$）．
當2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{1}{5}$x+$\frac{3π}{10}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$時，即10kπ-4π≤x≤10kπ+π時，原函數(shù)單調遞增．
∴函數(shù)y的單調遞增區(qū)間為[10kπ-4π，10kπ+π]（k∈Z）
（3）由題意：m滿足$\left\{\begin{array}{l}{-{m}^{2}+2m+3≥0}\\{-{m}^{2}+4≥0}\end{array}\right.$
解得：-1≤m≤2．
∵-m²+2m+3=-（m-1）²+4≤4，
∴0≤$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}≤$2．
同理：-1≤m≤2．
∴0$\sqrt{-{m}^{2}+4}≤$2．
由（2）知函數(shù)在[-4π，π]上遞增，若有：Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$+φ）＞Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+4}$+φ）
只需要：$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}＞\sqrt{-{m}^{2}+4}$成立即可，
解得：m＞$\frac{1}{2}$．
所以存在m∈（$\frac{1}{2}$，2]，使：Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+2m+3}$+φ）＞Asin（ω$\sqrt{-{m}^{2}+4}$+φ）成立．

點評 本題考查了三角函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)圖象及性質的運用能力和理解．綜合性強，計算量大．屬于中檔題．