【題目】在△ABC中,若sinA+sinB=sinC(cosA+cosB).
(1)判斷△ABC的形狀;
(2)在上述△ABC中,若角C的對邊c=1,求該三角形內(nèi)切圓半徑的取值范圍.
【答案】
(1)解:根據(jù)正弦定理,原式可變形為:c(cosA+cosB)=a+b①,
∵根據(jù)任意三角形射影定理得:a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,
∴a+b=c(cosA+cosB)+cosC(a+b)②,
由于a+b≠0,故由①式、②式得:cosC=0,
∴在△ABC中,∠C=90°,
則△ABC為直角三角形;
(2)解:∵c=1,sinC=1,∴由正弦定理得:外接圓半徑R= = ,
∴ = = =2R=1,即a=sinA,b=sinB,
∵sin(A+ )≤1,
∴內(nèi)切圓半徑r= (a+b﹣c)= (sinA+sinB﹣1)= (sinA+sinB)﹣ = sin(A+ )﹣ ≤ ,
∴內(nèi)切圓半徑的取值范圍是(0, ].
【解析】(1)已知等式利用正弦定理化簡得到關(guān)系式c(cosA+cosB)=a+b,再利用三角形射影定理得到a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC,表示出a+b,聯(lián)立兩式求出cosC的值為0,確定出C的度數(shù)為90°,即可對于三角形ABC形狀為直角三角形;(2)由c及sinC的值,利用正弦定理求出外接圓的半徑R,表示出a與b,根據(jù)內(nèi)切圓半徑r= (a+b﹣c),將a與b代入并利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡,根據(jù)正弦 函數(shù)的值域即可確定出r的范圍.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正弦定理的定義和余弦定理的定義的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握正弦定理:;余弦定理:;;才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若,證明:對任意的實(shí)數(shù),都有.
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【題目】如下圖所示的三棱柱中,棱底面, , , , , 分別是, , 的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證: ;
(Ⅱ)求為二面角的余弦值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=-x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中m>0.
(1)當(dāng)m=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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【題目】下列判斷正確的是( )
A.a=7,b=14,A=30°,有兩解
B.a=30,b=25,A=150°,有一解
C.a=6,b=9,A=45°,有兩解
D.a=9,b=10,A=60°,無解
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求在處的切線方程;
(Ⅱ)若且函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若時(shí), 恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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【題目】設(shè)函數(shù)).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)設(shè),若對任意的,存在使得成立,求的取值范圍.
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【題目】已知點(diǎn)是橢圓E: (a>b>0)上一點(diǎn),離心率為.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)不過原點(diǎn)O的直線l與該橢圓E交于P,Q兩點(diǎn),滿足直線OP,PQ,OQ的斜率依次成等比數(shù)列,求△OPQ面積的取值范圍.
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