Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若，證明：對任意的實(shí)數(shù)，都有.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為;（2）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為證明，先證出，再證明令，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

試題解析：（1）定義域?yàn)?/span>，，

①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，

②當(dāng)時(shí)，令，有，

		0
	↘	極小值	↗

所以的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

綜合①②，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.

（2）要證明，即證明，

下面先證明：，

構(gòu)造函數(shù)，，

令得，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，

∴，

于是有，，

∴當(dāng)時(shí)，，

從而.

接下來只需證：，

即證：，

令，則，

所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，

即，

∵時(shí)，，

∴，

∴.

點(diǎn)晴:本題主要考查函數(shù)單調(diào)性,及不等式的證明問題.要求單調(diào)性，求導(dǎo)比較導(dǎo)方程的根的大小，解不等式可得單調(diào)區(qū)間，要證明不等式恒成立問題可轉(zhuǎn)化為構(gòu)造新函數(shù)證明新函數(shù)單調(diào)，只需要證明其導(dǎo)函數(shù)大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個不等式，我們可以先根據(jù)題意構(gòu)造新函數(shù)，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉(zhuǎn)化之后，就可以假設(shè)相對應(yīng)的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)研究這個函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，圖像與性質(zhì)，進(jìn)而求解得結(jié)果.