Question

1．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，$AB=\sqrt{3}$，BC=1，PA=2，E為PD的中點．
（Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；
（Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥面PAC，求N點的坐標．

Answer 1

分析 （Ⅰ）建立空間直角坐標系，利用坐標表示$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{PB}$，求出它的夾角余弦值；
（Ⅱ）N點在側(cè)面PAB內(nèi)，設出N點坐標，利用NE⊥平面PAC，得$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，列方程組求出N點的坐標．

解答 解：（Ⅰ）建立空間直角坐標系，如圖所示；
則A，B，C，D，P，E的坐標分別為A（0，0，0）、$B（\sqrt{3}，0，0）$、$C（\sqrt{3}，1，0）$、
D（0，1，0）、P（0，0，2）、$E（0，\frac{1}{2}，1）$，

∴$\overrightarrow{AC}=（\sqrt{3}，1，0），\overrightarrow{PB}=（\sqrt{3}，0，-2）$；
設$\overrightarrow{AC}$與$\overrightarrow{PB}$的夾角為θ，則
$cosθ=\frac{{\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{PB}}}{{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{PB}|}}=\frac{3}{{2\sqrt{7}}}=\frac{{3\sqrt{7}}}{14}$，
∴AC與PB所成角的余弦值為$\frac{{3\sqrt{7}}}{14}$；
（Ⅱ）由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設N點坐標為（x，0，z），
則$\overrightarrow{NE}=（-x，\frac{1}{2}，1-z）$，
由NE⊥平面PAC可得，
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AP}=0}\\{\overrightarrow{NE}•\overrightarrow{AC}=0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（-x，\frac{1}{2}，1-z）•（0，0，2）=0}\\{（-x，\frac{1}{2}，1-z）•（\sqrt{3}，1，0）=0}\end{array}\right.$，
化簡得$\left\{\begin{array}{l}{z-1=0}\\{-\sqrt{3}x+\frac{1}{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{6}}\\{z=1}\end{array}\right.$；
∴N點的坐標為$（\frac{{\sqrt{3}}}{6}，0，1）$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應用問題，也考查了空間向量的應用問題，是綜合性題目．