Question

16．定義在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的任意一個(gè)函數(shù)，都可表示成“一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和（或差）”．設(shè)f（x）是定義域?yàn)镽的任一函數(shù)，$F（x）=\frac{f（x）+f（-x）}{2}$，$G（x）=\frac{f（x）-f（-x）}{2}$，試判斷F（x）與G（x）的奇偶性．現(xiàn)欲將函數(shù)f（x）=ln（e^x+1）表示成一個(gè)奇函數(shù)g（x）和一個(gè)偶函數(shù)h（x）之和，則g（x）=$\frac{x}{2}$．

Answer 1

分析 容易判斷F（x）為偶函數(shù)，G（x）為奇函數(shù)，并得出f（x）=F（x）+G（x），從而得出$g（x）=\frac{ln（{e}^{x}+1）-ln（{e}^{-x}+1）}{2}$，化簡后便可得出g（x）．

解答 解：F（-x）=$\frac{f（-x）+f（x）}{2}=F（x）$；
∴F（x）為偶函數(shù)；
$G（-x）=\frac{f（-x）-f（x）}{2}=-\frac{f（x）-f（-x）}{2}=-G（x）$；
∴G（x）為奇函數(shù)；
且f（x）=F（x）+G（x）；
據(jù)題意，
$g（x）=\frac{f（x）-f（-x）}{2}$
=$\frac{ln（{e}^{x}+1）-ln（{e}^{-x}+1）}{2}$
=$\frac{ln（{e}^{x}+1）-ln\frac{{e}^{x}+1}{{e}^{x}}}{2}$
=$\frac{ln{e}^{x}}{2}$
=$\frac{x}{2}$．
故答案為：$\frac{x}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義及判斷方法，以及對(duì)數(shù)式的運(yùn)算．