Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-

a

x

，其中a∈R．
（Ⅰ）當a=2時，求函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）如果對于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞-x+2，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求在某點出的切線方程，關(guān)鍵是求出斜率k，利用導數(shù)就可以斜率，再利用點斜式求切線方程．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=xlnx+x²-2x，則g（x）＞a，只要求出g（x）的最小值就可以．

解答： 解：（Ⅰ）由f(x)=lnx-

2

x

，
∴f′(x)=

1

x

+

2

x2

，
∴k=f′（1）=3，
又∵f（1）=-2，
∴函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為3x-y-5=0；

（Ⅱ）由 f（x）＞-x+2，得lnx-

a

x

＞-x+2，
即 a＜xlnx+x²-2x，
設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx+x²-2x，
則 g′（x）=lnx+2x-1，
∵x∈（1，+∞），
∴l(xiāng)nx＞0，2x-1＞0，
∴當x∈（1，+∞）時，g′（x）=lnx+2x-1＞0，
∴函數(shù)g（x）在x∈（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當x∈（1，+∞）時，g（x）＞g（1）=-1，
∵對于任意x∈（1，+∞），都有f（x）＞-x+2成立，
∴對于任意x∈（1，+∞），都有a＜g（x）成立，
∴a≤-1．

點評：導數(shù)再函數(shù)應用中，求切線方程就是求再某點處的導數(shù)，再求參數(shù)的取值范圍中，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值或最小值問題．