Question

（本小題滿(mǎn)分12分）已知，如圖，AB是⊙O的直徑，G為AB延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，GCD是⊙O的割線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)G作AB的垂線(xiàn)，交直線(xiàn)AC于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，過(guò)G作⊙O的切線(xiàn)，切點(diǎn)為H.

求證：(1)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓；

(2)GH²＝GE·GF.

 

 

Answer 1

【答案】

見(jiàn)解析。

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是與圓相關(guān)的比例線(xiàn)段及圓內(nèi)接四邊形的判定，其中根據(jù)圓內(nèi)接四邊形判定定理，判斷C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，是解答本題的關(guān)鍵．

（I）連接BC．由已知中AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，由過(guò)點(diǎn)G作AB的垂線(xiàn)，交AC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，可得∠AGE=90°，進(jìn)而得到∠FDC=∠AEG，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形判定定理，即可得到C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓；

（Ⅱ）由（I）中C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，則GCD和GEF分別為圓的兩條件割線(xiàn)，則GE•GF=GC•GD，又由已知中GH為圓O的切線(xiàn)，GCD為圓O的割線(xiàn)，由切割線(xiàn)定理可得GH²=GC•GD，進(jìn)而得到結(jié)論．

證明：(1)連接CB，

∵∠ACB＝90°，AG⊥FG，

又∵∠EAG＝∠BAC，

∴∠ABC＝∠AEG.

∵∠ADC＝180°－∠ABC

＝180°－∠AEG＝∠CEF，

∴∠ADC＋∠FDC＝∠CEF＋∠FDC＝180°，

∴C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓．                       …………6分

(2)由C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，知∠GCE＝∠AFE，∠GEC＝∠GDF，

∴△GCE∽△GFD，

故＝，即GC·GD＝GE·GF.

∵GH為圓的切線(xiàn)，GCD為割線(xiàn)，

∴GH²＝GC·GD，∴GH2＝GE·GF.                   …………12分