Question

6．設(shè)橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（$\sqrt{2}$，1），且焦點為F₁（-$\sqrt{2}$，0）
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)過點P（4，0）的動直線l與橢圓C相交于兩不同點A，B時，在線段AB上取點Q，滿足$\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|\overrightarrow{AQ}|}{|\overrightarrow{QB}|}$，證明：點Q總在某定直線上．

Answer 1

分析 （1）由橢圓過點M（$\sqrt{2}$，1），且焦點為F₁（-$\sqrt{2}$，0），列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設(shè)點Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），設(shè)$\overrightarrow{PA}$=-$λ\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{BQ}$，（λ≠0，±1），利用點差法能證明點Q總在直線上．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）過點M（$\sqrt{2}$，1），且焦點為F₁（-$\sqrt{2}$，0），
∴由題意$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}=2}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{{c}^{2}={a}^{2}-^{2}}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=2，
∴所求的橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）設(shè)點Q（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題設(shè)，|$\overrightarrow{PA}$|、|$\overrightarrow{PB}$|、|$\overrightarrow{AQ}$|、|$\overrightarrow{QB}$|均不為0，且滿足$\frac{|\overrightarrow{AP}|}{|\overrightarrow{PB}|}$=$\frac{|\overrightarrow{AQ}|}{|\overrightarrow{QB}|}$，
又P、A、Q、B四點共線，設(shè)$\overrightarrow{PA}$=-$λ\overrightarrow{AQ}$，$\overrightarrow{PB}=λ\overrightarrow{BQ}$，（λ≠0，±1），
∴${x}_{1}=\frac{4-λx}{1-λ}$，${y}_{1}=\frac{-λy}{1-λ}$，①
 ${x}_{2}=\frac{4+λx}{1+λ}$，${y}_{2}=\frac{λy}{1+λ}$，②
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在橢圓上，
將①②分別代入C的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，整理得：
（x²+2y²-4）λ²-8（x-1）λ+12=0，③
（x²+2y²-4）λ²+8（x-1）λ+12=0，④
由④-③，得-8（x-1）λ=0，
∵λ≠0，∴x-1=0，
即點Q（x，y）總在直線x-1=0上．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查點在定直線上的證明，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意點差法和橢圓性質(zhì)的合理運用．