已知函數(shù)(x≥4)的反函數(shù)為，數(shù)列滿足：a1=1，，（N*），數(shù)列，，，…，是首項為1，公比為的等比數(shù)列．

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；  （Ⅱ）若，求數(shù)列的前n項和．

 

【答案】

（Ⅰ）見解析； （Ⅱ）．

【解析】(I)反解x,可得(x≥0),

所以,從而可得（N*）,由等差數(shù)列的定義可知數(shù)列是等差數(shù)列.

(II)由題意可知當n≥2時，,然后采用疊加的辦法求出,從而確定,然后采用錯位相減的方法求和.

（Ⅰ）∵(x≥4)，

∴(x≥0)，

∴，

即（N*）．

∴數(shù)列是以為首項，公差為2的等差數(shù)列．

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即

（N*）．

b1=1，當n≥2時，，

∴

    

因而，N*．

，

∴

令               ①

則      ②

①-②，得

 

∴．又．

∴．

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

填空題
（1）已知
cos2x
sin(x+
π
4
)
=
4
3
，則sin2x的值為
1
9
1
9
．
（2）已知定義在區(qū)間[0，
3π
2
]上的函數(shù)y=f（x）的圖象關于直線x=
3π
4
對稱，當x≥
3π
4
時，f（x）=cosx，如果關于x的方程f（x）=a有四個不同的解，則實數(shù)a的取值范圍為
(-1，-
2
2
)
(-1，-
2
2
)
．

（3）設向量
a
，
b
，
c
滿足
a
+
b
+
c
=
0
，(
a
-
b
)⊥
c
，
a
⊥
b
，若|
a
|=1，則|
a
|2+|
b
|2+|
c
|2的值是
4
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知周期為4的函數(shù)f（x）=
2
1-x2
1-|x-2|
(-1＜x≤1) 
(1＜x≤3) 
．
（1）試確定方程f（x）-
x
3
=0的實數(shù)解的個數(shù)
（2）求f（x）在R上的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源：江蘇省常州二中2008高考一輪復習綜合測試5、數(shù)學(文科) 題型：044

已知函數(shù)(x≥4)的反函數(shù)為f－1(x)，數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an+1＝f－1(an)，(n∈N*)，數(shù)列b1，b2－b1，b3－b2，…，bn－bn－1是首項為1，公比為的等比數(shù)列．

(Ⅰ)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

(Ⅱ)若，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)(x≥4)的反函數(shù)為，數(shù)列滿足：a1=1，，（N*），數(shù)列，，，…，是首項為1，公比為的等比數(shù)列．

（Ⅰ）求證：數(shù)列為等差數(shù)列；

（Ⅱ）若，求數(shù)列的前n項和．

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