Question

15．已知函數(shù)f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$sin（$\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$（ω＞0）的圖象相鄰兩條對(duì)稱軸的距離為$\frac{π}{2}$
（1）求函數(shù)f（x）的解析式及其單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若f（$\frac{A}{2}$）-cosA=$\frac{1}{2}$，且bc=1，b+c=3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)二倍角公式兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)，再很據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出單調(diào)區(qū)間，
（2）先求出A的大小，再根據(jù)余弦定理即可求出

解答 解：（1）f（x）=2cos$\frac{ωx}{2}$sin（$\frac{ωx}{2}$+$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sin$\frac{ωx}{2}$cos$\frac{ωx}{2}$+cos²$\frac{ωx}{2}$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinωx+$\frac{1}{2}$（1+cosωx）-$\frac{1}{2}$=sin（ωx+$\frac{π}{6}$）
由相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，知f（x）的最小正周期T=π，則ω=2
所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）$
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z$
得f（x）的遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$
（2）由$f（\frac{A}{2}）-cosA=\frac{1}{2}$得$sin（A+\frac{π}{6}）-cosA=\frac{1}{2}$
得$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinA-\frac{1}{2}cosA=\frac{1}{2}$，$sin（A-\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴$-\frac{π}{6}＜A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$A-\frac{π}{6}=\frac{π}{6}$，即$A=\frac{π}{3}$
又bc=1，b+c=3，
根據(jù)余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-3bc=6，
∴$a=\sqrt{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二倍角公式兩角和差的正弦公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及余弦定理，屬于中檔題．