Question

4．已知函數(shù)f₁（x）=$\frac{1}{2}$x²，f₂（x）=alnx（其中a＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）=f₁（x）-f₂（x）的極值；
（2）若函數(shù)g（x）=f₁（x）-f₂（x）+（a-1）x在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）內(nèi)有兩個零點，求正實數(shù)a取值范圍；
（3）求證：當(dāng)x＞0時，lnx+$\frac{3}{4{x}^{2}}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0．（說明：e是自然對數(shù)的底數(shù)，e=2.71828…）

Answer 1

分析 （1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論x，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）內(nèi)有兩個零點，得到不等式組，解出即可；
（3）問題等價于x²lnx＞$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{4}$，求出f（x）=x²lnx的最小值為-$\frac{1}{2e}$，設(shè)h（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{4}$，通過討論函數(shù)的單調(diào)性，求出h（x）的最大值，從而證出結(jié)論．

解答 解：（1）f（x）=f₁（x）-f₂（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx，
∴f′（x）=x-$\frac{a}{x}$=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，（x＞0，a＞0），
由f′（x）＞0，得x＞$\sqrt{a}$，由f′（x）＜0，得0＜x＜$\sqrt{a}$，
故函數(shù)f（x）在（0，$\sqrt{a}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{a}$，+∞）上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)f（x）的極小值為f（$\sqrt{a}$）=$\frac{a（1-lna）}{2}$，無極大值．
（2）函數(shù)g（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-1）x，
則g′（x）=$\frac{（x+a）（x-1）}{x}$，
令g′（x）=0，∵a＞0，解得x=1，或x=-a（舍去），
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
函數(shù)g（x）在區(qū)間（$\frac{1}{e}$，e）內(nèi)有兩個零點，
只需$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{e}）＞0}\\{g（1）＜0}\\{g（e）＞0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{2e}^{2}}+\frac{a-1}{e}+a＞0}\\{\frac{1}{2}+a-1＜0}\\{\frac{{e}^{2}}{2}+（a-1）e-a＞0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{2e-1}{{2e}^{2}+2e}}\\{a＜\frac{1}{2}}\\{a＞\frac{2e{-e}^{2}}{2e-2}}\end{array}\right.$，
故實數(shù)a的取值范圍是（$\frac{2e-1}{{2e}^{2}+2e}$，$\frac{1}{2}$）．
（3）問題等價于x²lnx＞$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{4}$，
令m（x）=x²lnx，m′（x）=x（2lnx+1），
令m′（x）＞0，解得：x＞${e}^{-\frac{1}{2}}$，令m′（x）＜0，解得：0＜x＜${e}^{-\frac{1}{2}}$，
∴m（x）在（0，${e}^{-\frac{1}{2}}$）遞減，在（${e}^{-\frac{1}{2}}$，+∞）遞增，
∴m（x）_min=m（${e}^{-\frac{1}{2}}$）=-$\frac{1}{2e}$，
設(shè)h（x）=$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{4}$，
h′（x）=-$\frac{x（x-2）}{{e}^{x}}$得h（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+∞）上單調(diào)遞減．
∴h（x）_max=h（2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{3}{4}$，
∵-$\frac{1}{2e}$-（$\frac{4}{{e}^{2}}$-$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}$-$\frac{1}{2e}$-$\frac{4}{{e}^{2}}$=$\frac{（3e-8）（e+2）}{{4e}^{2}}$＞0，
∴f（x）_min＞h（x）_max，∴x²lnx＞$\frac{{x}^{2}}{{e}^{x}}$-$\frac{3}{4}$，
故當(dāng)x＞0時，lnx+$\frac{3}{{4x}^{2}}$-$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，不等式的證明，是一道綜合題．