Question

12．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x+2）=-f（x），若$f（\frac{1}{2}）=0$，則方程f（x）=0在區(qū)間（0，4）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（　�。�

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)周期性，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵f（x）是偶函數(shù)，且若$f（\frac{1}{2}）=0$，
∴若f（-$\frac{1}{2}$）=$f（\frac{1}{2}）=0$，
∵f（x+2）=-f（x），
∴函數(shù)f（x+4）=f（x），
則f（-$\frac{1}{2}$+4）=f（$\frac{7}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=0，
∴f（$\frac{1}{2}+2$）=-f（$\frac{1}{2}$）=0，
即f（$\frac{5}{2}$）=0，f（-$\frac{1}{2}+2$）=-f（-$\frac{1}{2}$）=0，
即f（$\frac{3}{2}$）=0，
f（$\frac{3}{2}$+2）=-f（$\frac{3}{2}$）=0，即f（$\frac{5}{2}$）=0，
則f（-$\frac{5}{2}$）=f（$\frac{5}{2}$）=0，
則在區(qū)間（0，4）內(nèi)，
有f（$\frac{1}{2}$）=0，f（$\frac{3}{2}$）=0，f（$\frac{5}{2}$）=0，f（$\frac{7}{2}$）=0，
故至少有4個(gè)根，
故選：C

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)根的格式的判斷，根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性之間的關(guān)系進(jìn)行遞推是解決本題的關(guān)鍵．