Question

13．已知橢圓x²$+\frac{4}{3}{y}^{2}$=1的左、右焦點分別為F₁、F₂，P是橢圓上任意一點，O為坐標原點，動點M滿足|OM|²=|PF₁|²+|PF₂|²+2$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，O、P、M三點共線，過定點Q（0，2）的直線l與動點M的軌跡交于G、H兩點（G在Q、H之間）．
（I）求動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）設直線l的斜率k＞0，在x軸上是否存在點N（m，0）使得NH=NG？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由向量等式可得$|\overrightarrow{OM}{|}^{2}=4|\overrightarrow{OP}{|}^{2}$，再由O、P、M三點共線可得$\overrightarrow{OM}=±2\overrightarrow{OP}$，設M（x，y），用M的坐標表示P的坐標，把P的坐標代入橢圓方程可得動點M的軌跡方程；
（Ⅱ）在x軸上存在點N（m，0），使得NH=NG，設l的方程為y=kx+2（k＞0），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，結合（$\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{NH}$）•$\overrightarrow{GH}$=0即可求出實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由|OM|²=|PF₁|²+|PF₂|²+2$\overrightarrow{P{F}_{1}}$$•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，
得$|\overrightarrow{OM}{|}^{2}=|\overrightarrow{P{F}_{1}}{|}^{2}+|\overrightarrow{P{F}_{2}}{|}^{2}+2\overrightarrow{P{F}_{1}}•\overrightarrow{P{F}_{2}}$，即$|\overrightarrow{OM}{|}^{2}=（\overrightarrow{P{F}_{1}}+\overrightarrow{P{F}_{2}}）^{2}$=$（-2\overrightarrow{OP}）^{2}=4|\overrightarrow{OP}{|}^{2}$，
∵O、P、M三點共線，
∴$\overrightarrow{OM}=±2\overrightarrow{OP}$，設M（x，y），則P（$\frac{x}{2}，\frac{y}{2}$）或P（-$\frac{x}{2}，-\frac{y}{2}$），
由P在橢圓x²$+\frac{4}{3}{y}^{2}$=1上，得$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
故動點M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）在x軸上存在點N（m，0），使得使得NH=NG．
理由如下：
設l的方程為y=kx+2（k＞0），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+2}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16kx+4=0．
∵直線l與橢圓有兩個交點，
∴△=256k²-16（3+4k²）=4（k²-1）＞0，
∴k²＞1，
又∵k＞0，∴k＞1．
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{-16k}{3+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{NH}$=（x₁-m，y₁）+（x₂-m，y₂）=（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
=（x₁+x₂-2m，k（x₁+x₂）+4），
$\overrightarrow{GH}$=（x₂-x₁，y₂-y₁）=（x₂-x₁，k（x₂-x₁））．
由于NH=NG，則（$\overrightarrow{NG}+\overrightarrow{NH}$）•$\overrightarrow{GH}$=0．
∴（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m]+k（x₂-x₁）[k（x₁+x₂）+4]=0．
故（x₂-x₁）[（x₁+x₂）-2m+k²（x₁+x₂）+4k]=0．
即（x₂-x₁）[（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m]=0
∵k＞0，∴x₂-x₁≠0，
∴（1+k²）（x₁+x₂）+4k-2m=0，
∴（1+k²）（$\frac{-16k}{3+4{k}^{2}}$）+4k-2m=0，解得m=$\frac{-2}{\frac{3}{k}+4k}$，
設y=$\frac{3}{k}+4k$，當k＞1時，y′=-$\frac{3}{{k}^{2}}+4$=$\frac{4{k}^{2}-3}{{k}^{2}}$＞0，
∴函數(shù)y=$\frac{3}{k}+4k$在（1，+∞）上單調遞增，
∴y＞7，
∴m=$\frac{-2}{y}$＞-$\frac{2}{7}$．

點評 本題考查橢圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，考查韋達定理，考查學生的計算能力，屬于中檔題．