Question

4．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，點(diǎn)（n，$\frac{{S}_{n}}{n}$）在直線y=$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-11）（2{a}_{n+1}-11）}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，并求使不等式T_n＞$\frac{k}{20}$對一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，得$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n+\frac{11}{2}$，化為S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}n$． 利用遞推關(guān)系即可得出．
（2）利用“裂項求和”可得T_n，再利用數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由題意，得$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n+\frac{11}{2}$，化為S_n=$\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}n$．…（2分）
故當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=$（\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{11}{2}n）$-$[\frac{1}{2}（n-1）^{2}+\frac{11}{2}（n-1）]$=n+5，…（5分）
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=6=1+5，
∴a_n=n+5．…（6分）
（Ⅱ）b_n=$\frac{3}{（2{a}_{n}-11）（2{a}_{n+1}-11）}$=$\frac{3}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{3}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，…（8分）
∴T_n=$\frac{3}{2}[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）]$
=$\frac{3}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$=$\frac{3n}{2n+1}$．…（10分）
由于T_n+1-T_n=$3（\frac{n+1}{2n+3}-\frac{n}{2n+1}）$=$\frac{3}{（2n+3）（2n+1）}$＞0，
因此T_n單調(diào)遞增，…（12分）
故（T_n）_min=1．
令1$＞\frac{k}{20}$，解得k＜20，
∴k_max=19．…（13分）

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．