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【題目】已知函數．

（1）試討論的單調性；

（2）若有兩個極值點， ，且，求證： ．

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）求導， ，討論兩種情況即可得解（2）， 由題意， 是方程的兩個根，所以，① ，②聯立①②得出，所以令，所以， ，因此只需證明當時，不等式 成立即可，即不等式成立，構造差函數研究單調性即可得證.

試題解析：

（1）函數的定義域為， ，

令， ，

當時，解得，此時在上恒成立，

故可得在上恒成立，即當時， 在上單調遞增．

當時，解得或，

方程的兩根為和，

當時，可知， ，此時在上， 在上單調遞增；

當時，易知， ，此時可得在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增．

綜上可知，當時， 在上單調遞增；

當時， 在區(qū)間和區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．

（2），

，由題意， 是方程的兩個根，所以，①

，②

①②兩式相加可得，③

①②兩式相減可得，④

由③④兩式消去可得，

所以，

設，因為，所以，所以， ，

因此只需證明當時，不等式 成立即可，即不等式成立．

設函數，由（1）可知， 在上單調遞增，故，即證得當時， ，亦即證得，

所以，即證得．

練習冊系列答案
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【題目】如圖四棱錐中， 平面，底面是梯形， ， ， ， ， ， 為的中點， 為上一點，且（）．

（1）若時，求證： 平面；

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（Ⅱ）已知點關于軸的對稱點在拋物線上，是否存在直線與橢圓交于，使得的中點落在直線上，并且與拋物線相切，若直線存在，求出的方程，若不存在，說明理由.

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（1）求的值；

（2）將繞原點按逆時針方向旋轉角，得到，若點恰好落在曲線（）上（如圖所示），試判斷點是否也落在曲線（）上，并說明理由.

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【題目】已知橢圓的長軸長是短軸長的倍，且過點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若的頂點、在橢圓上， 所在的直線斜率為， 所在的直線斜率為，若，求的最大值．

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【題目】為了解某地區(qū)某種農產品的年產量x(單位：噸)對價格y(單位：千元/噸)和利潤z的影響，對近五年該農產品的年產量和價格統計如下表：

x

1

2

3

4

5

y

7.0

6.5

5.5

3.8

2.2

(1)求y關于x的線性回歸方程；

(2)若每噸該農產品的成本為2千元，假設該農產品可全部賣出，預測當年產量為多少時，年利潤z取到最大值？(保留兩位小數)

參考公式： ，

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（1）試討論的單調性；

（2）若有兩個極值點， ，且，求證： ．

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