Question

若函數f（x）=

1

3

x³-4x+4．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若對x∈[0，3]，都有f（x）＜c恒成立，求實數c的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=m有三個解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的概念及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求導，進而分析出f′（x）＞0和f′（x）＜0對應的區(qū)間，進而結合導函數符號與原函數單調性的關系，得到結論；
（2）由（1）可得f（x）在[0，2）上為減函數，在（2，3]上為增函數，比較f（0）與f（3）后得到函數的最大值，即可得到實數c的取值范圍；
（3）若關于x的方程f（x）=m有三個解，則m值介于函數兩個極值之間，結合（1）的結論求出極值，即可．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=

1

3

x³-4x+4．
∴f′（x）=x²-4，
當x∈（-∞，-2）∪（2，+∞）時，f′（x）＞0，當x∈（-2，2）時，f′（x）＜0，
∴函數f（x）在（-∞，-2）和（2，+∞）上為增函數，在（-2，2）上為減函數；
（2）由（1）知，f（x）在[0，2）上為減函數，在（2，3]上為增函數，
∵f（0）=4，f（3）=1，
故x∈[0，3]時，f（x）的最大值為4，
若對x∈[0，3]，都有f（x）＜c恒成立，
則c＞4，
（3）由（1）知，函數f（x）在x=-2時，取極大值

28

3

，在x=2時，取極小值-

4

3

，
若關于x的方程f（x）=m有三個解，
則-

4

3

＜m＜

28

3

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查方程根的存在性及個數判斷，體現(xiàn)了數形結合的思想方法．本題是一道含參數的函數、導數與方程的綜合題，需要對參數進行分類討論．屬中檔題．