已知O為坐標(biāo)原點，
OA
=（2cos2x+a，2sinx），
OB
=（1，
3
cosx）（x∈R，a∈R，a是常數(shù)），設(shè)f（x）=
OA
•
OB

（1）求函數(shù)式f（x）關(guān)系式；
（2）已知函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
2
]上的最小值為-1，求a的值及函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的單調(diào)性
專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用
分析：（1）由平面向量數(shù)量積的運算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式即可求得f（x）=1+a+2sin（2x+
π
6
）．
（2）由x∈[0，
π
2
]，可得2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]，從而可求f（x）min=-1=f（
7π
6
）=a，即可解得a的值，令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z可解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
解答： 解：（1）f（x）=
OA
•
OB
=2cos2x+a+2
3
sinxcosx=1+a+cos2x+
3
sin2x=1+a+2sin（2x+
π
6
）．
（2）∵x∈[0，
π
2
]，
∴2x+
π
6
∈[
π
6
，
7π
6
]
∴f（x）min=-1=f（
7π
6
）=a
∴a=-1
∵令2kπ+
π
2
≤2x+
π
6
≤2kπ+
3π
2
，k∈Z可解得kπ+
π
6
≤x≤kπ+
2π
3
，k∈Z
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是[kπ+
π
6
，kπ+
2π
3
]，k∈Z．
點評：本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于基本知識的考查．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知x∈R，向量
a
=(sin2x ， cosx)，
b
=(1 ， 2cosx)，f（x）=
a
•
b
．
（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若α是第二象限角，f(
α
2
)=
4
2
5
cos(α+
π
4
)cos2α+1，求cosα-sinα的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

“a＞b＞0”是“a2＞b2”成立的（　�。l件．
A、必要不充分
B、充分不必要
C、充要
D、既不充分也不必要

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α、β，它們的終邊與單位圓O的交點為A，B，則
OA
=
 
，
OB
=
 
，∠AOB=
 
．
由向量數(shù)量積的定義有
OA
•
OB
=
 
由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示有
OA
•
OB
=
 
=
 
．
于是，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

R表示實數(shù)集，集合M={x∈R|0＜log3x＜1}，N={x∈R||2x-3|＜1}，則（　�。�
A、M∩N=N
B、M∪N=N
C、（∁RN）∩M=φ
D、（∁RM）∩N=φ

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知i是虛數(shù)單位，m和n都是實數(shù)，且m（1+i）=7+ni，則
m+ni
m-ni
（　�。�
A、-1B、1C、-iD、i

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

關(guān)于函數(shù)y=2x2-2x-3有以下4個結(jié)論：①定義域為（-∞，-1）∪（3，+∞）②遞增區(qū)間為[1，+∞），③是非奇非偶函數(shù)④值域是（
1
16
，+∞）．則正確的結(jié)論是
 
．（填序號即可）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）=
1
3
x3-4x+4．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若對x∈[0，3]，都有f（x）＜c恒成立，求實數(shù)c的取值范圍；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=m有三個解，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3
2
sin
x
4
cos
x
4
-3
2
cos2
x
4
+
3
2
2
．
（1）用五點法作出函數(shù)在一個周期的圖象；
（2）若x∈[
5π
6
，
11π
6
]，求f（x）的值域；
（3）說明此函數(shù)可由y=sinx的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到．

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同步練習(xí)冊答案