Question

已知數列{a_n}滿足

1

2

a₁+

1

22

a²+…+

1

2n

a_n=

n2+n

2

（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）利用遞推式即可得出

1

2n

an=n；
（2）利用“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）當n=1時 

1

2

a1=

12+1

2

⇒a1=2，

1 2 a1+ 1 22 a2+…+ 1 2n-1 an-1= (n-1)2+(n-1) 2 1 2 a1+ 1 22 a2+…+ 1 2n an= n2+n 2

，
兩式相減，得

1

2n

an=n，
∴an=n•2n．
（2）設Sn=2+2•22+3•23+…+n•2n，
則   2Sn= 22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
兩式相減，得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（2-2n）•2ⁿ-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點評：本題考查了遞推式的應用、“錯位相減法”與等比數列的前n項和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．