Question

若數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

3

，且對(duì)任意的正整數(shù)p，q都有a_p+q=a_pa_q，則若q=1時(shí)，a₂+a₄+a₆+…+a_2n+…=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：對(duì)任意的正整數(shù)p，q都有a_p+q=a_pa_q，a₁=

1

3

，可得a2=a1a1=

1

9

，當(dāng)q=1時(shí)，ap+1=apa1=

1

3

ap，可得{a_n}是首項(xiàng)和公比都為

1

3

的等比數(shù)列，{a_2n}是首項(xiàng)和公比都為

1

9

的等比數(shù)列，即可得出．

解答： 解：∵對(duì)任意的正整數(shù)p，q都有a_p+q=a_pa_q，a₁=

1

3

，
∴a2=a1a1=

1

9

，
若q=1時(shí)，ap+1=apa1=

1

3

ap，
∴{a_n}是首項(xiàng)和公比都為

1

3

的等比數(shù)列，
∴{a_2n}是首項(xiàng)和公比都為

1

9

的等比數(shù)列，
a2+a4+a6+…+a2n+…=

1 9

1- 1 9

=

1

8

．
故答案為：

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、數(shù)列極限的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．