Question

已知各項為正數(shù)的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁a₂=48，a₃=20．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)b_n=

1

Sn-1

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件利用等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由S_n=4n²，得b_n=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用錯位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₁a₂=48，∴a₁（a₁+d）=48，…（1分）
∵a₃=20，a₁+2d=20，∴d=10-

1

2

a1，…（2分）
∴a1(10+

1

2

a1)=48，即a12+20a1-96=0，…（3分）
∵數(shù)列{a_n}的各項為正數(shù)，∴解得a₁=4，或a₁=-24（舍）…（4分）
∴d=10-

1

2

a1=8，…（5分）
∴數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=8n-4．…（6分）
（2）（2）∵a₁=4，d=8，∴S_n=4n+

n(n-1)

2

×8=4n²，…（7分）
∴b_n=

1

Sn-1

=

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（9分）
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（10分）
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．…（12分）

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求解，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．