Question

已知橢圓C的焦點F₁（-2

2

，0）和F₂（2

2

，0），長軸長為6．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設直線y=x+2交橢圓C于A、B兩點，求線段AB的中點坐標．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由題意及a，b，c的平方關系即可求得a，b值；
（2）聯(lián)立方程組消去y可得關于x的一元二次方程，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由韋達定理可求x₁+x₂的值，進而可得中點橫坐標，代入直線方程即可求得縱坐標．

解答：解：（1）設橢圓C的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
由題意知，2a=6，c=2

2

，∴a=3，b²=a²-c²=9-8=1，
橢圓C的標準方程為：

x2

9

+y2=1；
（2）由

x2 9 +y2=1 y=x+2

，得10x²+36x+27=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

36

10

=-

18

5

，
∴線段AB中點橫坐標為-

9

5

，代入方程y=x+2得y=-

9

5

+2=

1

5

，
故線段AB中點的坐標為（-

9

5

，

1

5

）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓標準方程的求解，韋達定理、弦長公式、中點坐標公式是該部分常用的內容．