Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，O是AB中點，PO⊥平面ABCD，PO=CD=DA=

1

2

AB=4，M是PA中點．
（1）證明：平面PBC∥平面ODM；
（2）求平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面平行的判定

專題：空間角

分析：（1）由已知條件推導出四邊形OBCD是平行四邊形，從而得到BC∥OD．進而得到OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，由此能夠證明平面PBC∥平面ODM．
（2）以O(shè)為原點，BA方向為x軸，以平面ABCD內(nèi)過O點且垂直于AB方向為y軸，以O(shè)P方向為z軸，建立空間直角坐標系．利用向量法能求出平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值．

解答： （1）證明：∵BC=CD=DA，PO=CD=DA=

1

2

AB=4，M是PA中點．
∴BO=OA=CD=DA=4，
∵底面ABCD是等腰梯形，且AB∥CD，…（2分）
∵CD平行且等于BO，∴四邊形OBCD是平行四邊形，
∴BC∥OD．
∵AO=BO，AM=PM，∴OM∥PB，
又∵BC∥OD，∴OD∥平面PBC，OM∥平面PBC，
∴平面PBC∥平面ODM．…（6分）
（2）以O(shè)為原點，BA方向為x軸，以平面ABCD內(nèi)過O點且垂直于AB方向為y軸，
以O(shè)P方向為z軸，建立如圖所示空間直角坐標系．
則P（0，0，4），B（-4，0，0），A（4，0，0），
C（-2，-2

3

，0），D（2，-2

3

，0），…（8分）
∴

PB

=（-4，0，-4），

BC

=（2，-2

3

，0），
設(shè)平面PBC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • PB =-4x-4z=0 n • BC =2x-2 3 y=0

，
取x=

3

，得

n

=(

3

，1，-

3

)，
又

PA

=(4，0，-4)，

AD

=(-2，-2

3

，0)，
設(shè)平面PAD的法向量

m

=(x1，y1，z1)，
則

m • PA =4x1-4z1=0 m • AD =-2x1-2 3 y1=0

，
取x1=

3

，得

m

=(

3

，-1，

3

)，
設(shè)平面PBC與平面PAD所成銳二面角為θ，
則cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

3-1-3

7 • 7

|=

1

7

，
∴平面PBC與平面PAD所成銳二面角的余弦值為

1

7

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．