Question

已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD為等邊三角形，AD=DE=2AB，F(xiàn)在線段CD上．
（Ⅰ）若FD=2FC，試判斷直線AF與平面BCE的位置關系，并加以證明；
（Ⅱ）當二面角B-AF-E的平面角的正弦值為

5

5

時，求

CF

CD

的值．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（Ⅰ）取CE的中點G，連結FG，BG，由題設條件推導出四邊形GFAB為平行四邊形，由此能證明AF∥平面BCE．
（Ⅱ）以A為坐標原點，以AC為x軸，在平面ACD內(nèi)過A垂直于AC的直線為y軸，以AB為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出

CF

CD

的值．

解答： （Ⅰ）證明：取CE的中點G，連結FG，BG，
∵FD=2FC，∴GF∥

1

3

DE，
∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴AB∥DE，
∴CE∥AB，又∵AB=

1

2

DE，∴GF=AB，
∴四邊形GFAB為平行四邊形，∴AF∥BG，
∵AF不包含于平面BCE，BG?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（Ⅱ）以A為坐標原點，以AC為x軸，在平面ACD內(nèi)過A垂直于AC的直線為y軸，以AB為z軸，
建立空間直角坐標系，
設AD=DE=2AB=2a，則A（0，0，0），C（2a，0，0），B（0，0，a），
D（a，

3

a，0），E（a，

3

a，2a），
設CF=tFD，則F（

t+2

1+t

a，

3 at

1+t

，0），
∴

AE

=（a，

3

a，2a），

AF

=（

t+2

1+t

a，

3 at

1+t

，0），
設平面AFE的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • AF = t+2 1+t ax+ 3 at 1+t ay=0 n • AE =ax+ 3 ay+2az=0

，
取y=-

3

，得

n

=（

3t

t+2

，-

3

，

3

t+2

），
由題意知平面BAF的法向量為

CD

=（-a，

3

a，0），
∵二面角B-AF-E的平面角的正弦值為

5

5

，
∴|cos＜

CD

，

n

＞|=|

-a• 3t t+2 -3a

( 3t t+2 )2+3+( 3 t+2 )2 •2a

|=

1-( 5 5 )2

，
解得t=1，
∴

CF

CD

=

1

2

．

點評：本題考查直線與平面的位置關系的判斷與證明，考查兩條線段的比值的計算，解題時要注意空間位置關系的判斷，注意空間思維能力的培養(yǎng)．