Question

11．已知函f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-cos2x．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期、最大值及取得最大值時(shí)x的集合；
（Ⅱ）設(shè)△ABC內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若$f（\frac{B}{2}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，b=1，$c=\sqrt{3}$，且a＞b，求角B和角C．

Answer 1

分析 （I）根據(jù)兩角差的正弦公式、特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)解析式，由三角函數(shù)的周期公式函數(shù)f（x）的最小正周期，由正弦函數(shù)的最值求出最大值及取得最大值時(shí)x的集合；
（II）由（Ⅰ）化簡(jiǎn)$f（\frac{B}{2}）=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，由B的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出B，由條件和正弦定理列出方程求出sinC，由C的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出C，并結(jié)合條件驗(yàn)證邊角關(guān)系．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，f（x）=sin2xcos$\frac{π}{6}$-cos2xsin$\frac{π}{6}$-cos2x…（1分）
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{3}{2}cos2x=\sqrt{3}sin（2x-\frac{π}{3}）$…（2分）
∴函數(shù)f（x）的最小正周期為$T=\frac{2π}{2}=π$…（3分）
當(dāng)$2x-\frac{π}{3}=2kπ+\frac{π}{2}$，即$x=kπ+\frac{5}{12}π，k∈Z$時(shí)，
f（x）取最大值為$\sqrt{3}$，…（4分）
這時(shí)x的集合為$\{x|x=kπ+\frac{5}{12}π，k∈Z\}$…（5分）
（Ⅱ）由（I）知，$f（\frac{B}{2}）=\sqrt{3}sin（B-\frac{π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
∴$sin（B-\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}$，…（6分）
∵0＜B＜π，∴$-\frac{π}{3}＜B-\frac{π}{3}＜\frac{2π}{3}$…（7分）
∴$B-\frac{π}{3}=-\frac{π}{6}，即B=\frac{π}{6}$，…（8分）
$又∵b=1，c=\sqrt{3}$，
∴由正弦定理得$\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$，則$sinC=\frac{csinB}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，…（9分）
∵C為三角形的內(nèi)角，∴$C=\frac{π}{3}或\frac{2π}{3}$…（10分）
$當(dāng)C=\frac{π}{3}時(shí)，A=\frac{π}{2}$；…（11分）
$當(dāng)C=\frac{2π}{3}時(shí)，A=\frac{π}{6}$，
由a＞b得A＞B，則$A=\frac{π}{6}$舍去，
∴$B=\frac{π}{6}，C=\frac{π}{3}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，正弦定理，正弦函數(shù)的最值，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，注意內(nèi)角的范圍和邊角關(guān)系．