Question

6．若命題“?x∈[-1，1]，1+2^x+a•4^x＜0”是假命題，則實(shí)數(shù)a的最小值為-6．

Answer 1

分析 依題意，“?x₀∈[-1，1]，使得1+2x₀+a•4x₀≥0成立，分離a，利用配方法與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得實(shí)數(shù)a的最小值．

解答 解：∵命題“?x∈[-1，1]，1+2^x+a•4^x＜0”是假命題，
∴?x₀∈[-1，1]，使得1+2x₀+a•4x₀≥0成立，
令${2}^{{x}_{0}}$=t，∴$\frac{1}{2}≤t≤2$，g（t）=-（t²+t）．則a≥g（t）_min．
g（t）=-（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤-6，
∴a≥-6，∴實(shí)數(shù)a的最小值為-6．
故答案為-6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查全稱命題與特稱命題的關(guān)系，考查存在性命題成立問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想與思維運(yùn)算能力，屬于難題．