Question

數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，an+1=

a

2 n

+an，n∈N^*，bn=

1

1+an

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，P_n=b₁b₂…b_n，則S_n+2P_n=

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由已知條件得bn=

1

1+an

=

1

an

-

1

an+1

，從而得到S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

，再由bn=

1

1+an

=

an

an+1

，得P_n=b₁b₂…b_n=

a1

a2

×

a2

a3

×…×

an

an+1

=

a1

an+1

，由此能求出S_n+2P_n．

解答： 解：∵數(shù)列{a_n}滿足：a1=

1

2

，an+1=

a

2 n

+an，n∈N^*，
∴

1

an+1

=

1

an

•

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴

1

an+1

=

1

an

-

1

an+1

，
∴bn=

1

1+an

=

1

an

-

1

an+1

，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

=

1

a1

-

1

an+1

，
bn=

1

1+an

=

an

an+1

，
P_n=b₁b₂…b_n=

a1

a2

×

a2

a3

×…×

an

an+1

=

a1

an+1

，
∴2P_n=

2a1

an+1

=

1

an+1

，
∴S_n+2P_n=

1

a1

-

1

an+1

+

1

an+1

=

1

a1

=2．

點評：本題考查數(shù)列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．