Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax³-bx²+cx+b-a（a＞0）．
（1）設(shè)c=0．
①若a=b，曲線y=f（x）在x=x₀處的切線過(guò)點(diǎn)（1，0），求x₀的值；
②若a＞b，求f（x）在區(qū)間[0，1]上的最大值．
（2）設(shè)f（x）在x=x₁，x=x₂兩處取得極值，求證：f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂不同時(shí)成立．

Answer 1

分析 （1）①計(jì)算f′（1），得出切線方程，代入點(diǎn)（1，0）列方程解出x₀；
②求出f（x）的極值點(diǎn)，判斷兩極值點(diǎn)的大小及與區(qū)間[0，1]的關(guān)系，從而得出f（x）在[0，1]上的單調(diào)性，得出最大值；
（2）使用反證法證明．

解答 解：（1）當(dāng)c=0時(shí)，f（x）=ax³-bx²+b-a．
①若a=b，則f（x）=ax³-ax²，
從而f'（x）=3ax²-2ax，
故曲線y=f（x）在x=x₀處的切線方程為$y-（a{x_0}^3-a{x_0}^2）$=$（3a{x_0}^2-2a{x_0}）（x-{x_0}）$．
將點(diǎn)（1，0）代入上式并整理得${x_0}^2（1-{x_0}）$=x₀（1-x₀）（3x₀-2），
解得x₀=0或x₀=1．
②若a＞b，則令f'（x）=3ax²-2bx=0，解得x=0或$x=\frac{2b}{3a}＜1$．
（ⅰ）若b≤0，則當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f'（x）≥0，
∴f（x）為區(qū)間[0，1]上的增函數(shù)，
∴f（x）的最大值為f（1）=0．
（ ii）若b＞0，列表：

x	0	（0，$\frac{2b}{3a}$）	$\frac{2b}{3a}$	（$\frac{2b}{3a}$，1）	1
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	b-a＜0	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)	0

所以f（x）的最大值為f（1）=0．
綜上，f（x）的最大值為0．
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得f（x₁）=x₁與f（x₂）=x₂同時(shí)成立．
不妨設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）＜f（x₂）．
因?yàn)閤=x₁，x=x₂為f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以f'（x）=3ax²-2bx+c=3a（x-x₁）（x-x₂）．
因?yàn)閍＞0，所以當(dāng)x∈[x₁，x₂]時(shí)，f'（x）≤0，
故f（x）為區(qū)間[x₁，x₂]上的減函數(shù)，
從而f（x₁）＞f（x₂），這與f（x₁）＜f（x₂）矛盾，
故假設(shè)不成立．
既不存在實(shí)數(shù)a，b，c，使得f（x₁）=x₁，f（x₂）=x₂同時(shí)成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計(jì)算，屬于中檔題．