Question

1．函數(shù)f（x）=x³-ax-1．
（1）當a=8時，求函數(shù)f（x）在x=0處的切線方程．
（2）討論f（x）=x³-ax-1的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（0），f′（0），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（1）a=8時，f（x）=x³-8x-1，f′（x）=3x²-8，
故f′（0）=-8，f（0）=-1，
故切線方程是：y+1=-8x，
即8x+y+1=0；
（2）f′（x）=3x²-a，
a≤0時，f′（x）≥0，f（x）在R遞增，
a＞0時，令f′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{\frac{a}{3}}$或x＜-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，
令f′（x）＜0，解得：-$\sqrt{\frac{a}{3}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a}{3}}$，
故f（x）在（-∞，-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）遞增，在（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$，$\sqrt{\frac{a}{3}}$）遞減，在（$\sqrt{\frac{a}{3}}$，+∞）遞增．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，考查切線方程，是一道中檔題．