Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知⊙C：x²+（y-1）²=5，點(diǎn)A為⊙C與x軸負(fù)半軸的交點(diǎn)，過(guò)A作⊙C的弦AB，記線段AB的中點(diǎn)為M，若|OA|=|OM|，則直線AB的斜率為（　　）

• A． -2
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 因?yàn)閳A的半徑為$\sqrt{5}$，所以A（-2，0），連接CM，則CM⊥AB，求出圓的直徑，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM與∠OAM互補(bǔ)，即可得出結(jié)論．

解答 解：因?yàn)閳A的半徑為$\sqrt{5}$，所以A（-2，0），連接CM，由題意CM⊥AB
因此，四點(diǎn)C，M，A，O共圓，且AC就是該圓的直徑，2R=AC=$\sqrt{5}$，
在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=$\frac{OM}{sin∠OCM}$，
根據(jù)題意，OA=OM=2，
所以，$\sqrt{5}$=$\frac{2}{sin∠OCM}$，
所以sin∠OCM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$，tan∠OCM=-2（∠OCM為鈍角），
而∠OCM與∠OAM互補(bǔ)，
所以tan∠OAM=2，即直線AB的斜率為2．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查正弦定理，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．