Question

4．因?yàn)閨cos＜$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$＞|≤1，所以|$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$|≤|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|，當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$共線時(shí)取等號(hào)，那么若$\overrightarrow a$=（x₁，y₁，z₁），$\overrightarrow b$=（x₂，y₂，z₂），則有$\sqrt{{{{（x}_{1}•x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{•y}_{2}）}^{2}{+{（z}_{1}{•z}_{2}）}^{2}}$≤$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}{{+z}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}{{+y}_{2}}^{2}{{+z}_{2}}^{2}}$，當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$取等號(hào)，所以當(dāng)a²+4b²+9c²=6時(shí)，$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$+$\frac{1}{c^2}$的最小值為6．

Answer 1

分析 由題意利用兩個(gè)向量的數(shù)量積公式求得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$以及|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$，可得結(jié)論；再利用基本不等式求得要求式子的最小值，注意1的代換：$\frac{{a}^{2}}{6}$+$\frac{{2b}^{2}}{3}$+$\frac{{3c}^{2}}{2}$=1．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=x₁•x₂ +y₁•y₂ +z₁•z₂ =$\sqrt{{{{（x}_{1}•x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{•y}_{2}）}^{2}{+{（z}_{1}{•z}_{2}）}^{2}}$，|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}{{+z}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}{{+y}_{2}}^{2}{{+z}_{2}}^{2}}$，
又∵|$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$|≤|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|，當(dāng)且僅當(dāng)$\overrightarrow a，\;\;\overrightarrow b$共線時(shí)取等號(hào)，∴$\sqrt{{{{（x}_{1}•x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{•y}_{2}）}^{2}{+{（z}_{1}{•z}_{2}）}^{2}}$≤$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}{{+z}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}{{+y}_{2}}^{2}{{+z}_{2}}^{2}}$，
 當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$ 時(shí)，等號(hào)成立．
∵a²+4b²+9c²=6，∴$\frac{{a}^{2}}{6}$+$\frac{{2b}^{2}}{3}$+$\frac{{3c}^{2}}{2}$=1，∴$\frac{1}{a^2}$+$\frac{1}{b^2}$+$\frac{1}{c^2}$=（ $\frac{1}{6}$+$\frac{{2b}^{2}}{{3a}^{2}}$+$\frac{{3c}^{2}}{{2a}^{2}}$ ）+（$\frac{{a}^{2}}{{6b}^{2}}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{{3c}^{2}}{{2b}^{2}}$）+（$\frac{{a}^{2}}{{6c}^{2}}$+$\frac{{2b}^{2}}{{3c}^{2}}$+$\frac{3}{2}$）
=$\frac{7}{3}$+2$\sqrt{\frac{{2b}^{2}}{{3a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{{6b}^{2}}}$+2$\sqrt{\frac{{3c}^{2}}{{2a}^{2}}•\frac{{a}^{2}}{{6c}^{2}}}$+2$\sqrt{\frac{{3c}^{2}}{{2b}^{2}}•\frac{{2b}^{2}}{{3c}^{2}}}$=6，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{\frac{3}{2}}}$=$\frac{c}{\sqrt{\frac{2}{3}}}$=$\frac{1}{3}$時(shí)，取等號(hào)．
故答案為：$\sqrt{{{{（x}_{1}•x}_{2}）}^{2}{+{（y}_{1}{•y}_{2}）}^{2}{+{（z}_{1}{•z}_{2}）}^{2}}$≤$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}{{+y}_{1}}^{2}{{+z}_{1}}^{2}}$•$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}{{+y}_{2}}^{2}{{+z}_{2}}^{2}}$；$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=$\frac{{z}_{1}}{{z}_{2}}$；6．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．