Question

已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若向量

m

=（cosB，1-2sin²

C

2

）與向量

n

=（2a-b，c）共線．
（1）求角C的值；
（2）若a+b=1，求邊c的取值范圍；
（3）若B=2A，試求（

3

sin2A

-

1

cos2A

）•

1

cosB

的值．

Answer 1

考點：正弦定理,平面向量數(shù)量積的運算

專題：解三角形

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)及兩向量共線，利用平面向量的數(shù)量積運算法則列出關(guān)系式，整理后根據(jù)sinA不為0求出cosC的值，即可確定出C的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將cosC與b=1-a代入，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出c的范圍即可；
（3）由內(nèi)角和定理及B=2A，求出A與B的度數(shù)，代入原式計算即可求出值．

解答： 解：（1）由題知，cosB•c=（2a-b）（1-2sin²

C

2

），即cosB•c=（2a-b）cosC，
由正弦定理有：sinCsinB=（2sinA-sinB）cosC，
展開整理得sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，
即sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，
∵sinA≠0，∴cosC=

1

2

，
又∵C為三角形的內(nèi)角，
∴C=60°；
（2）∵a+b=1，C=

π

3

，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=a²+（1-a）²-a（1-a）=3a²-3a+1=3（a-

1

2

）²+

1

4

，
又0＜a＜1，∴

1

4

≤c²＜1，
則

1

2

≤c＜1；
（3）∵A+B+C=π，C=

π

3

，且B=2A，
∴A=40°，B=80°，
∴原式=（

3

sin240°

-

1

cos240°

）•

1

cos80°

=

( 3 cos40°-sin40°)( 3 cos40°-sin40°)

(sin40°cos40°)2

•

1

cos80°

=

2sin20°•2sin100°

1 4 sin280°cos80°

=

2sin160°•2sin100°

1 8 sin80°sin160°

=

32sin100°

sin80°

=32．

點評：此題考查了正弦定理，平面向量的數(shù)量積運算，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．