Question

已知函數(shù)f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
（1）寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）求方程2f(x)+

3

=0的解集．

Answer 1

分析：（1）首先利用有關(guān)公式對函數(shù)的解析式進行化簡整理，再由正弦函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的增區(qū)間．
（2）由題意可得：f（x）=-

2

sin（2x-

π

4

）=-

3

2

，即整理可得：sin(2x-

π

4

)=

6

4

，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可．

解答：解：由題意可得：f（x）=cos⁴x-2sinxcosx-sin⁴x
=（cos²x+sin²x）（cos²x-sin²x）-sin2x
=cos2x-sin2x
=-

2

sin（2x-

π

4

）．
（1）由題意可得：正弦函數(shù)的減區(qū)間是函數(shù)f（x）=-

2

sin（2x-

π

4

）的增區(qū)間，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

4

≤

3π

2

+2kπ（k∈z），解得

3π

8

+kπ≤x≤

7π

8

+kπ（k∈z），
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[

3π

8

+kπ，

7π

8

+kπ]（k∈z）．
（2）由題意可得：方程2f(x)+

3

=0等價于f（x）=-

2

sin（2x-

π

4

）=-

3

2

，
即整理可得：sin(2x-

π

4

)=

6

4

，
所以x=kπ+

π

8

+

1

2

arcsin

6

4

或者x=kπ+

5π

8

-

1

2

arcsin

6

4

，
所以方程的解集為：{x|x=kπ+

π

8

+

1

2

arcsin

6

4

或者x=kπ+

5π

8

-

1

2

arcsin

6

4

，k∈Z}．

點評：本題考查了二倍角公式、兩角和與差的正弦余弦公式，以及復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，解決的方法一般是由正弦函數(shù)的單調(diào)性和整體思想，求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查了整體思想．