Question

14．已知直線l經過直線2x+y+5=0與x-2y=0的交點，圓C₁：x²+y²-2x-2y-4=0與圓C₂：x²+y²+6x+2y-6=0相較于A、B兩點．
（1）若點P（5，0）到直線l的距離為4，求l的直線方程；
（2）若直線l與直線AB垂直，求直線l方程．

Answer 1

分析 （1）設出直線的交點系方程，代入點到直線距離公式，求出λ值，可得l的直線方程；
（2）直線l與直線AB垂直，即直線l與C₁C₂平行，由此求出λ值，可得l的直線方程；

解答 （本小題滿分12分）
解：（1）設直線l的方程為：2x+y-5+λ（x-2y）=0    即：（2+λ）x+（1-2λ）y-5=0
由題意：$\frac{|5（2+λ）-5|}{\sqrt{{（2+λ）}^{2}+{（1-2λ）}^{2}}}$=3
整理得：2λ²-5λ+2=0
（2λ-1）（ λ-2）=0
∴λ=$\frac{1}{2}$或λ=2
∴直線l的方程為：2x+y-5+$\frac{1}{2}$（x-2y）=0或2x+y-5+2（x-2y）=0
即：x=2或4x-3y-5=0…（6分）
（2）圓C₁：x²+y²-2x-4y-4=0，即（x-1）²+（y-2）²=9，
故圓心坐標為：C₁（1，2）
圓C₂：x²+y²+6x+2y-6=0 即（x+3）²+（y+1）²=16，
故圓心坐標為：C₂（-3，-1）
直線C₁C₂與AB垂直，所以直線l與C₁C₂平行，可知：l的斜率為k=$\frac{2+1}{1+3}$=$\frac{3}{4}$
由題意：$\frac{λ+2}{2λ-1}$=$\frac{3}{4}$   解得：λ=$\frac{11}{2}$
∴直線l的方程為：2x+y-5+$\frac{11}{2}$ （x-2y）=0
即：3x-4y-2=0．…（12分）

點評 本題考查的知識點是直線與圓的位置關系，直線的交點系方程，點到直線的距離公式，難度中檔．