Question

4．已知平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)P（1，0），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\(chéng)\ y=sinφ\(chéng)end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，傾斜角為α的直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（α-θ）=sinα．
（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；
（2）若曲線C與直線l交于M，N兩點(diǎn)，且$|{\frac{1}{{|{PM}|}}-\frac{1}{{|{PN}|}}}|=\frac{1}{3}$，求α的值．

Answer 1

分析 （1）消去曲線C中的參數(shù)，可得普通方程，利用ρsinθ=y，ρcosθ=x，可得直線l的直角坐標(biāo)方程．
（2）利用參數(shù)方程的幾何意義，求解．

解答 解：（1）曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=2cosφ\(chéng)\ y=sinφ\(chéng)end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．cos²φ+sin²φ=1，可得：$（\frac{x}{2}）^{2}+{y}^{2}=1$
故得曲線C的普通方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（α-θ）=sinα
?ρsinαcosθ-ρsinθcosα=sinα
?（x-1）sinα=ycosα
?y=x•tanα-tanα．
故得直線l的直角坐標(biāo)方程為y=x•tanα-tanα．
（2）由題意，可得直線l的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t•tanα}\\{y=t•tanα}\end{array}\right.$帶入曲線C的普通方程可得：（3sin²α+1）+2cosα•t-3=0，
可得：${t}_{1}+{t}_{2}=-\frac{2cosα}{3si{n}^{2}α+1}$，${t}_{1}•{t}_{2}=-\frac{3}{3si{n}^{2}α+1}$．
由$|{\frac{1}{{|{PM}|}}-\frac{1}{{|{PN}|}}}|=\frac{1}{3}$，
可得：|$\frac{|PM|-|PN|}{|PM|•|PN|}$|=|$\frac{{t}_{1}+{t}_{2}}{{t}_{1}{t}_{2}}$|=$\frac{1}{3}$，
即$\frac{|-6cosα|}{3si{n}^{2}α+1}$=|$\frac{-3}{3si{n}^{2}α+1}$|，
解得：|cosα|=$\frac{1}{2}$，
∴α=$\frac{π}{3}$或$α=\frac{2π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與普通方程的互換以及參數(shù)方程的幾何意義的運(yùn)用．屬于基礎(chǔ)題．