Question

15．已知函數f（x）=3$\sqrt{co{s}^{2}x}$-cosx（0≤x≤2π）．
（1）畫出函數f（x）的圖象；
（2）若函數g（x）=f（x）+2m有且僅有2個零點，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據題意和余弦函數的性質化簡解析式，由解析式和余弦函數圖象畫出f（x）的圖象；
（2）將函數g（x）的零點問題轉化為：函數f（x）的圖象和直線y=-2m有且僅有2個交點，由圖列出不等式，求出實數m的取值范圍即可．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=3$\sqrt{co{s}^{2}x}$-cosx（0≤x≤2π）
=3|cosx|-cosx=$\left\{\begin{array}{l}{2cosx，x∈[0，\frac{π}{2}）∪（\frac{3π}{2}，2π]}\\{-4cosx，x∈[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]}\end{array}\right.$，
函數f（x）的圖象如圖所示：
（2）∵函數g（x）=f（x）+2m有且僅有2個零點，
∴函數f（x）的圖象和直線y=-2m有且僅有2個交點，
由圖得，2≤-m＜4，則-4＜m≤-2，
∴實數m的取值范圍是（-4，-2]．

點評 本題考查余弦函數的圖象與性質，以及函數零點與函數圖象交點之間的關系，考查轉化思想，數形結合思想，化簡、變形能力．