Question

已知f（x）=x³-6x²+9x-abc，a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c）=0，則abc的取值范圍為（　�。�

• A、（0，4）
• B、（0，1）
• C、（-1，+∞）
• D、（4，+∞）

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：導(dǎo)數(shù)法可得函數(shù)的單調(diào)性和極值，結(jié)合圖象可得a＜1＜b＜3＜c，進而可得f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0，解不等式組可得．

解答： 解：求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3）
∴當1＜x＜3時，f′（x）＜0；當x＜1，或x＞3時，f′（x）＞0
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1）和（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（1，3）
∴f（x）極大值為f（1）=1-6+9-abc=4-abc，極小值為f（3）=27-54+27-abc=-abc
要使f（x）=0有三個解a、b、c，那么結(jié)合函數(shù)f（x）草圖可知：a＜1＜b＜3＜c
∵函數(shù)有零點x=b在1～3之間，∴f（1）=4-abc＞0，且f（3）=-abc＜0
解得0＜abc＜4，即abc的取值范圍為（0，4）
故選：A

點評：本題考查根的存在性及個數(shù)的判斷，涉及導(dǎo)數(shù)和極值以及屬性結(jié)合的應(yīng)用，屬中檔題．