Question

數(shù)列{a_n}的前n的和S_n，且3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，其中t＞0，n∈N^*，n≥2．_nnnn
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列．
（2）設數(shù)列{a_n}的公比為f（t），數(shù)列b1=1，bn=f(

1

bn-1

)(n≥2)，求數(shù)列{b_n}的通項．
（3）記T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…-b_2nb_2n+1，求證：Tn≤-

20

9

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合,等比關系的確定,數(shù)列的求和

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，可得3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t，兩式相減可得數(shù)列a_n與a_n-1的遞推關系，從而可證．
（2）由（1）可得f（t），代入整理可得b_n-b_n-1=

2

3

，利用等差數(shù)列的通項公式可求．
（3）把所求式兩項結合，分組求和，即可得出結論．

解答： （1）證明：∵3ts_n-（2t+3）s_n-1=3t∴3ts_n-1-（2t+3）s_n-2=3t（n＞2）
兩式相減可得3t（s_n-s_n-1）-（2t+3）（s_n-1-s_n-2）=0
整理可得3ta_n=（2t+3）a_n-1（n≥3）
∴

an

an-1

=

2t+3

3t

，
∵a₁=1，∴a₂=

2t+3

3t

，
∴

a2

a1

=

2t+3

3t

∴數(shù)列{a_n}是以1為首項，以

2t+3

3t

為公比的等比數(shù)列；
（2）解：由（1）可得f（t）=

2t+3

3t

．
在數(shù)列{b_n}中，b_n=f（

1

bn-1

）=

2• 1 bn-1 +3

3• 1 bn-1

=b_n-1+

2

3

，
∴b_n-b_n-1=

2

3

∴數(shù)列{b_n}以1為首項，以

2

3

為公差的等差數(shù)列
∴b_n=1+（n-1）×

2

3

=

2

3

n+

1

3

；
（3）證明：T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…-b_2nb_2n+1=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）
=-

4

3

（b₂+b₄+…+b_2n）=-

4

3

（

2

3

n2+n）≤-

20

9

．

點評：本題主要考查了利用遞推關系實現(xiàn)數(shù)列和與項的相互轉化，進而求通項公式，等差數(shù)列的通項公式的運用，數(shù)列的求和．